النمذجة الرياضية واستراتيجيات الحل للمعادلات التفاضلية غير الخطية باستخدام النظريات المتقدمة
الكلمات المفتاحية:
المعادلات التفاضلية غير الخطية، المعادلات التفاضلية العادية، نظريات الوجود والتفرد، نظرية بيكارد-ليندلوف، نظرية وجود بيانو، استقرار ليابونوف، نظرية هارتمان-جروبمان، نظرية متعدد الشعب المركزيالملخص
تنشأ المعادلات التفاضلية غير الخطية في مجالات علمية وهندسية متنوعة، من علم البيئة إلى الفيزياء. وعلى عكس الأنظمة الخطية، يمكن أن تُظهر هذه المعادلات ديناميكيات معقدة مثل التوازنات المتعددة، ودورات الحد، والفوضى. تقدم هذه الورقة البحثية استعراضًا شاملاً لنمذجة وحلول المعادلات التفاضلية غير الخطية. نناقش نظريات الوجود والتفرد الأساسية (مثل بيكارد-ليندلوف وبيانو)، ونوضح النماذج غير الخطية الكلاسيكية (النمو اللوجستي، ونماذج المفترس والفريسة، ونماذج الأوبئة). نستعرض تقنيات الحل التحليلية والعددية، ونتعمق في الأدوات النظرية المتقدمة: تعريفات الاستقرار (استقرار ليابونوف، وخطية هارتمان-جروبمان)، ونظرية التشعب (تشعب هوبف)، ونظريات المتشعب الثابت (اختزال المتشعب المركزي). ندرج في جميع أنحاء الورقة أمثلة، وأشكالًا (صورًا للطور)، وجداول لمعادلات النماذج، ومقتطفات من الشيفرة البرمجية لعمليات المحاكاة. كما نوفر استشهادات ومراجع مفصلة.
المراجع
1. Coddington, E. A., & Levinson, N. (1955). Theory of ordinary differential equations. New York: McGraw-Hill.
2. Gilbert, I. A., et al. (2016). Calculus: Single Variable. OpenStax. (Used for logistic growth model).
3. Hartman, P. (1964). Ordinary Differential Equations. New York: John Wiley & Sons.
4. Khalil, H. K. (2002). Nonlinear Systems (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
5. Kermack, W. O., & McKendrick, A. G. (1927). A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A, 115(772), 700-721.
6. Lorenz, E. N. (1963). Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 20(2), 130-141.
7. Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology I: An Introduction (3rd ed.). New York: Springer.
8. Poincaré, H. (1890). Sur les courbes définies par une équation différentielle. Paris: Gauthier-Villars.
9. Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, and engineering (2nd ed.). Westview Press.
10. Verhulst, P.-F. (1845). Recherches mathématiques sur la loi d’accroissement de la population. Nouvelle Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, 18, 1-41
11. Mustafa M. Abuali, & Tarek M. Ghomeed. (2024). Utilizing the Artificial Bee Algorithm to Enhance the Accuracy of Book Recommendation Systems: A Case Study on Goodreads dataset. Libyan Journal of Contemporary Academic Studies, 2(2), 54-62.
